Η αριθμητική ακολουθία Fibonacci ανακαλύφθηκε από τον Ιταλό Leonardo Fibonacci στις αρχές του 13ου αιώνα.
![]()
Παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον επειδή οι αριθμοί της ακολουθίας Fibonacci συνδέονται τόσο με το «τρίγωνο του Pascal» και τη «χρυσή τομή» Φ όσο και με τις έλικες που εμφανίζονται σε φυσικά αντικείμενα όπως τα κουκουνάρια, οι ανανάδες και τα άνθη της μαργαρίτας.
![]()
Οι αριθμοί της ακολουθίας Fibonacci παράγονται εύκολα αν θέσουμε τους δύο πρώτους όρους ίσους με τη μονάδα και συνεχίσουμε προσθέτοντας τους δύο τελευταίους αριθμούς για να πάρουμε τον επόμενο:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, . . .
Ήταν απάντηση στο διάσημο «πρόβλημα των κουνελιών» που ο ίδιος είχε θέσει:
«Πόσα ζευγάρια κουνελιών θα έχουμε στο τέλος του χρόνου αν ξεκινήσουμε από ένα ζευγάρι και αν όλα τα ζευγάρια γεννούν κάθε μήνα ένα καινούργιο το οποίο φτάνει σε ηλικία αναπαραγωγής μέσα σε δύο μήνες;»
Οι πρώτοι μήνες παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα:
![]()
Πως πολλαπλασιάζονται τα κουνέλια σύμφωνα με το Fibonacci;
Στην αρχή του πρώτου μήνα έχουμε ένα ζευγάρι κουνελιών όπως και στο τέλος του μήνα. Μετά το τέλος του 2ου μήνα θα έχουμε δύο ζευγάρια ενώ στο τέλος του 3ου μήνα θα έχουμε τρία ζευγάρια.
Ο συναρτησιακός συμβολισμός για την ακολουθία δόθηκε για πρώτη φορά από τον Kepler το 1611 και εκφράζεται με τη σχέση:
f(n) + f(n+1) = f(n+2) όπου f(0) =0, f(1)=1 και f(n) ο N-στός όρος της ακολουθίας.
Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα των αριθμών Fibonacci:
«Ο λόγος του επόμενου όρου προς τον προηγούμενο τείνει προς μια τιμή που αποτελεί τη λεγόμενη «χρυσή τομή» Φ».
1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1•5, 5/3 = 1•666..., 8/5 = 1•6, 13/8 = 1•625, 21/13 = 1•61538...
και η γραφική παράσταση
![]()
Ένα Scratch applet με θέμα τους αριθμούς Fibonacci και το «Χρυσό Λόγο»ανέβασα, πριν από ένα χρόνο περίπου, στο Scratch website (http://scratch.mit.edu/projects/dapontesgr/1384281 )
SCRATCH applet_1
Learn more about this project
Ο πυρήνας του προγράμματος στο περιβάλλον του Scratch
![]()
Σημείωση:Όποιος ενδιαφέρεται μπορεί να δει τον κώδικα προγραμματισμού ενός Scratch project κατεβάζοντας το αρχείο από το Scratch Website αφού πρώτα έχει φροντίσει να κατεβάσει στον υπολογιστή του το ελεύθερο λογισμικό από το http://www.scratch.mit.edu / . Στη συνέχεια μπορεί να το τρέξει σε ολόκληρη την οθόνη με κλικ στο κουμπί Περιβάλλον Παρουσίασης που βρίσκεται στο πάνω δεξί μέρος της οθόνης ή να το αξιοποιήσει με βιντεοπροβολέα ή διαδραστικό πίνακα (εφόσον ενδείκνυται).
Δύο ενδιαφέροντα βίντεο με θέμα τους αριθμούς Fibonacci και το «Χρυσό Λόγο»
Video_1
Video_2
Βιβλιογραφία
1.Ostler, E. & Grandgenett, N. (1998). Ο Fibonacci είναι και πάλι εδώ! Τι κοινό έχουν ο Παρθενώνας και μια μαργαρίτα; Περιοδικό QUANTUM, Νοε. Δεκ. τεύχος 6, εκδόσεις Κάτοπτρο, Αθήνα.
2.Ευαγγελόπουλος, Δ. (2002). Ιερή Γεωμετρία. Εκδόσεις Αρχέτυπο, Θεσσαλονίκη.
Χρήσιμες Διευθύνσεις στο Διαδίκτυο
http://aix1.uottawa.ca/~jkhoury/fibonacci.htm
http://www.mscs.dal.ca/Fibonacci/ The Fibonacci Association
VIDEO
http://www.youtube.com/watch?v=085KSyQVb-U golden ratio
http://www.youtube.com/watch?v=ktLcSH4UkpE&feature=related Fibonacci Numbers in Nature
http://www.youtube.com/watch?v=fuCPXzAhNM4&feature=related Fibonacci numbers
http://www.youtube.com/watch?NR=1&feature=endscreen&v=U2bAlIK4KkEγενικό
http://www.youtube.com/watch?v=nN9gcaQPTVk&feature=related σπιράλ
Παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον επειδή οι αριθμοί της ακολουθίας Fibonacci συνδέονται τόσο με το «τρίγωνο του Pascal» και τη «χρυσή τομή» Φ όσο και με τις έλικες που εμφανίζονται σε φυσικά αντικείμενα όπως τα κουκουνάρια, οι ανανάδες και τα άνθη της μαργαρίτας.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, . . .
Ήταν απάντηση στο διάσημο «πρόβλημα των κουνελιών» που ο ίδιος είχε θέσει:
«Πόσα ζευγάρια κουνελιών θα έχουμε στο τέλος του χρόνου αν ξεκινήσουμε από ένα ζευγάρι και αν όλα τα ζευγάρια γεννούν κάθε μήνα ένα καινούργιο το οποίο φτάνει σε ηλικία αναπαραγωγής μέσα σε δύο μήνες;»
Οι πρώτοι μήνες παρουσιάζονται στο παρακάτω σχήμα:
Πως πολλαπλασιάζονται τα κουνέλια σύμφωνα με το Fibonacci;
Στην αρχή του πρώτου μήνα έχουμε ένα ζευγάρι κουνελιών όπως και στο τέλος του μήνα. Μετά το τέλος του 2ου μήνα θα έχουμε δύο ζευγάρια ενώ στο τέλος του 3ου μήνα θα έχουμε τρία ζευγάρια.
Ο συναρτησιακός συμβολισμός για την ακολουθία δόθηκε για πρώτη φορά από τον Kepler το 1611 και εκφράζεται με τη σχέση:
f(n) + f(n+1) = f(n+2) όπου f(0) =0, f(1)=1 και f(n) ο N-στός όρος της ακολουθίας.
Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα των αριθμών Fibonacci:
«Ο λόγος του επόμενου όρου προς τον προηγούμενο τείνει προς μια τιμή που αποτελεί τη λεγόμενη «χρυσή τομή» Φ».
1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1•5, 5/3 = 1•666..., 8/5 = 1•6, 13/8 = 1•625, 21/13 = 1•61538...
και η γραφική παράσταση
SCRATCH applet_1
Learn more about this project
Ο πυρήνας του προγράμματος στο περιβάλλον του Scratch
Σημείωση:Όποιος ενδιαφέρεται μπορεί να δει τον κώδικα προγραμματισμού ενός Scratch project κατεβάζοντας το αρχείο από το Scratch Website αφού πρώτα έχει φροντίσει να κατεβάσει στον υπολογιστή του το ελεύθερο λογισμικό από το http://www.scratch.mit.edu / . Στη συνέχεια μπορεί να το τρέξει σε ολόκληρη την οθόνη με κλικ στο κουμπί Περιβάλλον Παρουσίασης που βρίσκεται στο πάνω δεξί μέρος της οθόνης ή να το αξιοποιήσει με βιντεοπροβολέα ή διαδραστικό πίνακα (εφόσον ενδείκνυται).
Δύο ενδιαφέροντα βίντεο με θέμα τους αριθμούς Fibonacci και το «Χρυσό Λόγο»
Video_1
Video_2
Βιβλιογραφία
1.Ostler, E. & Grandgenett, N. (1998). Ο Fibonacci είναι και πάλι εδώ! Τι κοινό έχουν ο Παρθενώνας και μια μαργαρίτα; Περιοδικό QUANTUM, Νοε. Δεκ. τεύχος 6, εκδόσεις Κάτοπτρο, Αθήνα.
2.Ευαγγελόπουλος, Δ. (2002). Ιερή Γεωμετρία. Εκδόσεις Αρχέτυπο, Θεσσαλονίκη.
Χρήσιμες Διευθύνσεις στο Διαδίκτυο
http://aix1.uottawa.ca/~jkhoury/fibonacci.htm
http://www.mscs.dal.ca/Fibonacci/ The Fibonacci Association
VIDEO
http://www.youtube.com/watch?v=085KSyQVb-U golden ratio
http://www.youtube.com/watch?v=ktLcSH4UkpE&feature=related Fibonacci Numbers in Nature
http://www.youtube.com/watch?v=fuCPXzAhNM4&feature=related Fibonacci numbers
http://www.youtube.com/watch?NR=1&feature=endscreen&v=U2bAlIK4KkEγενικό
http://www.youtube.com/watch?v=nN9gcaQPTVk&feature=related σπιράλ