Η Σπείρα του Αρχιμήδηανήκει στην κατηγορία των σπειροειδών καμπύλων με το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της να είναι:
«H απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών περιελίξεων παραμένει σταθερή».
![]()
Σκοπός μου είναι να παρουσιάσω διάφορες πτυχές της σπείρας μέσα από μικρά εξειδικευμένα προγράμματα στο περιβάλλον του Scratch. Για παράδειγμα, θα επιχειρήσω να δω το σπιράλ του Αρχιμήδη (Archimedean spiral) από τη σκοπιά του Μαθηματικού, του ερευνητή της Αρχαιολογίας, του δασκάλου Φυσικής, και του ερασιτέχνη της «Optical Art» (ή «Visual Art»)με την αξιοποίηση του υπολογιστή και με εργαλείο τον προγραμματισμό στο Scratch.
α) Ο Μαθηματικός βλέπει την επίπεδη έλικα, κυρίως, ως μια καμπύλη γραμμή και την μοντελοποιεί με τις εξισώσεις:
![]()
Α. Το πρόβλημα από τη σκοπιά του Μαθηματικούπου χρησιμοποιεί το περιβάλλον του Scratch διατυπώνεται ως εξής:
![]()
Βασιζόμενος στις παραπάνω παραμετρικές εξισώσεις δεν έχω παρά να τις μεταφράσω στη γλώσσα προγραμματισμού έχοντας στον πυρήνα του κώδικα μερικές βασικές εντολές, όπως φαίνεται στον πίνακα:
![]()
Μετά τη δημιουργία του project στο ελεύθερο λογισμικό Scratch (offline editor beta, 2014) το ανάρτησα στο Scratch Website
( http://scratch.mit.edu/projects/17517472/ ) με τίτλο Archimedean Spiral Experiment III (στο dapontesgr).
Scratch applet 1
Ο κώδικας του προγράμματοςείναι σχετικά απλός και προκύπτει από τη μετάφραση των συλλογισμών μας στη γλώσσα (εντολές και συντακτικό) του Scratch.
![]()
Σκέφτηκα να προσθέσω και ένα χρωματικό εφέ έτσι ώστε να δίνεται η ψευδαίσθηση ότι η σπείρα του Αρχιμήδη «περιστρέφεται» διαρκώς.
Για να το πετύχω χρησιμοποίησα την εντολή αλλαγής χρώματος:
< άλλαξε το χρώμα της πένας κατά N t sin t >
Σημείωση:Με ορισμένες αλλαγές στον παραπάνω κώδικα, όπως για παράδειγμα στις παραμετρικές εξισώσεις, στις αρχικές τιμές μεταβλητών και των παραμέτρων, το παραπάνω απλό πρόγραμμα μπορεί να εξυπηρετήσει ως ένα «υπόδειγμα» για άλλες παρόμοιες περιπτώσεις. Αυτό το μικρό πρόγραμμα, με άλλα λόγια, παίζει το ρόλο «γεννήτριας»που αναπαριστάνει μια καμπύλη, αρκεί, βέβαια να γνωρίζουμε τις παραμετρικές εξισώσεις x και y σε Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.
Β. Για το ίδιο πρόβλημα ο Φυσικός ακολουθεί τον ορισμό που αποδίδεται στον Αρχιμήδη:
«Τα σημεία της καμπύλης παράγονται από ένα σημείο το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε μια ευθεία η οποία περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα».
Το πρόβλημα από τη σκοπιά του Φυσικού διατυπώνεται ως εξής:
![]()
Μετέφρασα αυτό που θέλω να συμβαίνει στην οθόνη σε εντολές του Scratch και το ανέβασα στο Scratch Website
http://scratch.mit.edu/projects/17186203/με τίτλο Archimedean Spiral Experiment I (στο dapontesgr).
Scratch applet 2
Σημείωση:Το έργο λειτουργεί σε TURBO MODE (με πατημένο το πλήκτρο Shift και κλικ στο πράσινο σημαιάκι) και σταματάει με κλικ στο κόκκινο κυκλάκι. Επίσης, με πάτημα του πλήκτρου «κενό – space» κρύβουμε ή εμφανίζουμε τη ράβδο και το σκαθάρι. Για τις άλλες δυνατότητες βλέπε την εκφώνηση του προβλήματος από τη σκοπιά του Φυσικού.
Όποιος ενδιαφέρεται «προγραμματιστικά» μπορεί να δει ολόκληρο τον κώδικα επισκεπτόμενος το αντίστοιχο project στο scratch website κάνοντας κλικ στο κουμπί ΔΕΙΤΕ ΜΕΣΑ
Γ) Μια ομάδα επιστημόνων του ΕΜΠ (1)μελέτησε τις σπειροειδείς
καμπύλες ζωγραφισμένες σε τοιχογραφίες στη Σαντορίνη (2) και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι πρόκειται για σπείρες του Αρχιμήδη. Με αφορμή αυτό το δημοσίευμα θα διατυπώσουμε ένα πρόβλημα και θα το λύσουμε με μορφή ενός project στο Scratch.
![]()
Από τη διατύπωση του προβλήματος συμπεραίνω ότι θα χρειαστώ δύο μόνο αντικείμενα – sprites. Το πρώτο, με όνομα pen, για να ικανοποιεί διαρκώς την απαίτηση σχεδίασης των κύκλων και των ακτινωτών γραμμών και το δεύτερο,
με όνομα point, για να ικανοποιεί τη δημιουργία της σπείρας με δυναμικό τρόπο.
i) Για τον προγραμματισμό του pen, σκέφτομαι ότι πρέπει να φτιάξω δύο νέες διαδικασίες – blocks που δεν μας τις προσφέρει άμεσα το Scratch:
-- η πρώτη είναι ένα block με το οποίο σχεδιάζεται ένας κύκλος
-- και η δεύτερη ένα άλλο που σχεδιάζει τις Ν ακτινωτές γραμμές
όπως παρακάτω:
![]()
Στη συνέχεια φτιάχνω τον κώδικα με τον οποίο σχεδιάζονται ταυτόχρονα οι 10 ομόκεντροι κύκλοι και οι Ν ακτινωτές γραμμές:
![]()
ii) Για τον προγραμματισμό του δεύτερου καθήκοντος σκέφτηκα να αξιοποιήσω τη δυνατότητα κλωνοποίησης όπως φαίνεται αμέσως παρακάτω:
Τελικά διαμόρφωσα ένα μικρό εξειδικευμένο project και μπορείτε να το δείτε εδώ http://scratch.mit.edu/projects/17571220/με τίτλο
Archimedean Spiral Experiment V (στο dapontesgr)
Scratch applet 3
Όποιος ενδιαφέρεται «προγραμματιστικά» μπορεί να δει ολόκληρο τον κώδικα επισκεπτόμενος το αντίστοιχο project στο scratch website και κάνοντας κλικ στο κουμπί ΔΕΙΤΕ ΜΕΣΑ (See inside).
Ακολουθεί το δεύτερο μέρος:
Έλικα ή Σπείρα του Αρχιμήδη: Αφορμή για ζωγραφική στον υπολογιστή (ΜΕΡΟΣ δεύτερο)
Σημειώσεις
(1)Ο καθηγητής Κωνσταντίνος Παπαοδυσσεύς και η ομάδα του από τη Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Εθνικού Μετσόβειου Πολυτεχνείου μελέτησε την Ξεστή 3, ένα διώροφο κτίριο, κατασκευασμένο πιθανώς για δημόσιες τελετές, που ήρθε στο φως στο Ακρωτήρι της Θήρας. Η περιοχή είχε καλυφθεί από την τέφρα της καταστροφικής ηφαιστειακής έκρηξης γύρω στο 1650 π.Χ., περίπου 1.350 χρόνια πριν τον Αρχιμήδη.
http://news.in.gr/science-technology/article/?aid=688270
![]()
(2)Στις τοιχογραφίες προκαλεί εντύπωση μια σειρά από σπείρες διακοσμημένες με κουκκίδες, διαμέτρου περίπου 32 εκατοστών. Όπως απέδειξαν οι ο κ. Παπαοδυσσεύς και οι συνεργάτες του, οι σπείρες είναι σχεδόν τέλειες σπείρες του Αρχιμήδη, με αποκλίσεις από την μαθηματική φόρμουλα που δεν ξεπερνούν το ένα τρίτο του χιλιοστού.
daponte@sch.gr
www.makolas.blogspot.gr
www.dapontesgr.blogspot.gr
www.dapontes.gr
http://scratch.mit.edu/users/dapontes/
http://scratch.mit.edu/users/dapontesgr/
«H απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών περιελίξεων παραμένει σταθερή».
Σκοπός μου είναι να παρουσιάσω διάφορες πτυχές της σπείρας μέσα από μικρά εξειδικευμένα προγράμματα στο περιβάλλον του Scratch. Για παράδειγμα, θα επιχειρήσω να δω το σπιράλ του Αρχιμήδη (Archimedean spiral) από τη σκοπιά του Μαθηματικού, του ερευνητή της Αρχαιολογίας, του δασκάλου Φυσικής, και του ερασιτέχνη της «Optical Art» (ή «Visual Art»)με την αξιοποίηση του υπολογιστή και με εργαλείο τον προγραμματισμό στο Scratch.
α) Ο Μαθηματικός βλέπει την επίπεδη έλικα, κυρίως, ως μια καμπύλη γραμμή και την μοντελοποιεί με τις εξισώσεις:
Α. Το πρόβλημα από τη σκοπιά του Μαθηματικούπου χρησιμοποιεί το περιβάλλον του Scratch διατυπώνεται ως εξής:
Βασιζόμενος στις παραπάνω παραμετρικές εξισώσεις δεν έχω παρά να τις μεταφράσω στη γλώσσα προγραμματισμού έχοντας στον πυρήνα του κώδικα μερικές βασικές εντολές, όπως φαίνεται στον πίνακα:
( http://scratch.mit.edu/projects/17517472/ ) με τίτλο Archimedean Spiral Experiment III (στο dapontesgr).
Scratch applet 1
Ο κώδικας του προγράμματοςείναι σχετικά απλός και προκύπτει από τη μετάφραση των συλλογισμών μας στη γλώσσα (εντολές και συντακτικό) του Scratch.
Σκέφτηκα να προσθέσω και ένα χρωματικό εφέ έτσι ώστε να δίνεται η ψευδαίσθηση ότι η σπείρα του Αρχιμήδη «περιστρέφεται» διαρκώς.
Για να το πετύχω χρησιμοποίησα την εντολή αλλαγής χρώματος:
< άλλαξε το χρώμα της πένας κατά N t sin t >
Σημείωση:Με ορισμένες αλλαγές στον παραπάνω κώδικα, όπως για παράδειγμα στις παραμετρικές εξισώσεις, στις αρχικές τιμές μεταβλητών και των παραμέτρων, το παραπάνω απλό πρόγραμμα μπορεί να εξυπηρετήσει ως ένα «υπόδειγμα» για άλλες παρόμοιες περιπτώσεις. Αυτό το μικρό πρόγραμμα, με άλλα λόγια, παίζει το ρόλο «γεννήτριας»που αναπαριστάνει μια καμπύλη, αρκεί, βέβαια να γνωρίζουμε τις παραμετρικές εξισώσεις x και y σε Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.
Β. Για το ίδιο πρόβλημα ο Φυσικός ακολουθεί τον ορισμό που αποδίδεται στον Αρχιμήδη:
«Τα σημεία της καμπύλης παράγονται από ένα σημείο το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα πάνω σε μια ευθεία η οποία περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα».
Το πρόβλημα από τη σκοπιά του Φυσικού διατυπώνεται ως εξής:
Μετέφρασα αυτό που θέλω να συμβαίνει στην οθόνη σε εντολές του Scratch και το ανέβασα στο Scratch Website
http://scratch.mit.edu/projects/17186203/με τίτλο Archimedean Spiral Experiment I (στο dapontesgr).
Scratch applet 2
Σημείωση:Το έργο λειτουργεί σε TURBO MODE (με πατημένο το πλήκτρο Shift και κλικ στο πράσινο σημαιάκι) και σταματάει με κλικ στο κόκκινο κυκλάκι. Επίσης, με πάτημα του πλήκτρου «κενό – space» κρύβουμε ή εμφανίζουμε τη ράβδο και το σκαθάρι. Για τις άλλες δυνατότητες βλέπε την εκφώνηση του προβλήματος από τη σκοπιά του Φυσικού.
Όποιος ενδιαφέρεται «προγραμματιστικά» μπορεί να δει ολόκληρο τον κώδικα επισκεπτόμενος το αντίστοιχο project στο scratch website κάνοντας κλικ στο κουμπί ΔΕΙΤΕ ΜΕΣΑ
Γ) Μια ομάδα επιστημόνων του ΕΜΠ (1)μελέτησε τις σπειροειδείς
καμπύλες ζωγραφισμένες σε τοιχογραφίες στη Σαντορίνη (2) και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι πρόκειται για σπείρες του Αρχιμήδη. Με αφορμή αυτό το δημοσίευμα θα διατυπώσουμε ένα πρόβλημα και θα το λύσουμε με μορφή ενός project στο Scratch.
Από τη διατύπωση του προβλήματος συμπεραίνω ότι θα χρειαστώ δύο μόνο αντικείμενα – sprites. Το πρώτο, με όνομα pen, για να ικανοποιεί διαρκώς την απαίτηση σχεδίασης των κύκλων και των ακτινωτών γραμμών και το δεύτερο,
με όνομα point, για να ικανοποιεί τη δημιουργία της σπείρας με δυναμικό τρόπο.
i) Για τον προγραμματισμό του pen, σκέφτομαι ότι πρέπει να φτιάξω δύο νέες διαδικασίες – blocks που δεν μας τις προσφέρει άμεσα το Scratch:
-- η πρώτη είναι ένα block με το οποίο σχεδιάζεται ένας κύκλος
-- και η δεύτερη ένα άλλο που σχεδιάζει τις Ν ακτινωτές γραμμές
όπως παρακάτω:
Στη συνέχεια φτιάχνω τον κώδικα με τον οποίο σχεδιάζονται ταυτόχρονα οι 10 ομόκεντροι κύκλοι και οι Ν ακτινωτές γραμμές:
ii) Για τον προγραμματισμό του δεύτερου καθήκοντος σκέφτηκα να αξιοποιήσω τη δυνατότητα κλωνοποίησης όπως φαίνεται αμέσως παρακάτω:
Τελικά διαμόρφωσα ένα μικρό εξειδικευμένο project και μπορείτε να το δείτε εδώ http://scratch.mit.edu/projects/17571220/με τίτλο
Archimedean Spiral Experiment V (στο dapontesgr)
Scratch applet 3
Όποιος ενδιαφέρεται «προγραμματιστικά» μπορεί να δει ολόκληρο τον κώδικα επισκεπτόμενος το αντίστοιχο project στο scratch website και κάνοντας κλικ στο κουμπί ΔΕΙΤΕ ΜΕΣΑ (See inside).
Ακολουθεί το δεύτερο μέρος:
Έλικα ή Σπείρα του Αρχιμήδη: Αφορμή για ζωγραφική στον υπολογιστή (ΜΕΡΟΣ δεύτερο)
Σημειώσεις
(1)Ο καθηγητής Κωνσταντίνος Παπαοδυσσεύς και η ομάδα του από τη Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Εθνικού Μετσόβειου Πολυτεχνείου μελέτησε την Ξεστή 3, ένα διώροφο κτίριο, κατασκευασμένο πιθανώς για δημόσιες τελετές, που ήρθε στο φως στο Ακρωτήρι της Θήρας. Η περιοχή είχε καλυφθεί από την τέφρα της καταστροφικής ηφαιστειακής έκρηξης γύρω στο 1650 π.Χ., περίπου 1.350 χρόνια πριν τον Αρχιμήδη.
http://news.in.gr/science-technology/article/?aid=688270
(2)Στις τοιχογραφίες προκαλεί εντύπωση μια σειρά από σπείρες διακοσμημένες με κουκκίδες, διαμέτρου περίπου 32 εκατοστών. Όπως απέδειξαν οι ο κ. Παπαοδυσσεύς και οι συνεργάτες του, οι σπείρες είναι σχεδόν τέλειες σπείρες του Αρχιμήδη, με αποκλίσεις από την μαθηματική φόρμουλα που δεν ξεπερνούν το ένα τρίτο του χιλιοστού.
daponte@sch.gr
www.makolas.blogspot.gr
www.dapontesgr.blogspot.gr
www.dapontes.gr
http://scratch.mit.edu/users/dapontes/
http://scratch.mit.edu/users/dapontesgr/